【京大1997】必要性と十分性を意識して軌跡問題を攻略【図形と方程式】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 今回は，1997年の京大文理共通問題より，軌跡に関する問題をピックアップ。 条件を満たす点 Q の軌跡を求めるというものです。 軌跡や通過領域は，多くの受験生が苦手とする分野の 1 つでしょう。 特に必要性・十分性あたりの確認が難しいです。 ただし，この問題については (1) (2) の 2 段階に分かれているので，その辺りの論理は意識しやすくなっています。 まず (1) を解くことにより，s = AP によらず t = OQ = 2 が成り立つことがいえます。 点 Q は，原点を中心とする半径 2 の円 C' 上にあるということですね。これが必要条件です。 あくまで円 C' 上にある「必要がある」というだけで，円 C' 全てが点 Q の軌跡になるというわけではありません。 そこで (2) では，C' のうちどの部分が点 Q の軌跡になるのかを調べていきます。 線分 AQ と円 C が共有点をもてば，その点のうち 1 つを点 P とすればよいので，十分性が満たされます。 線分 AQ と円 C が共有点を持たないような位置だと点 P をとることができないため，その点 Q は答えには入らないことになりますね。 軌跡や通過領域の問題では，このように必要性・十分性の双方を意識するのが大切です。 なお，実戦的には様々な解き方をする人がいると思うので，今回は別解を複数紹介してみました。 色々な解法を扱えるようにしておくと，どんな問題にも柔軟に対応できるようになります。 ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 1997年 京大 文系[1] 理系[1] 00:39 問題の状況を図示 02:03 (1) 解法1 余弦定理を用いるもの 06:57 (1) 解法2 方べきの定理を用いるもの 12:26 (1) 解法3 P(cosθ, sinθ) と表すもの 20:06 (2) 方針：十分性に注意 22:55 (2) 接線を引きその間を答えとする 26:29 (2) 別解：Q の x 座標を θ で表す 29:01 (2) 解法のまとめ 29:24 (2) おわりに