【京大2016】突破口はどこだ？３次方程式の難問【図形の性質・不等式】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 2016年の京大入試より，3 次方程式の解についての問題をピックアップ。 実数係数の 3 次式 f(x) について， ▶︎ f(x) = 0 の全ての解 α について，α^3 も解になっている ▶︎ f(x) = 0 の解の中に虚数が少なくとも 1 つ存在する という条件が成り立っているときに，この f(x) の具体形を求めていきます。 理系の大学受験性であれば de Moivre 定理を学習するので，解となる複素数の大きさが 1 であるとすぐイメージできるでしょうが，文系受験生だとまずそこに思い至るのが難しいかもしれませんね。 最初の突破口は，f(x) = 0 に実数解 x = t が 1 つ存在し，その実数解を 3 乗したものはもとの t 自身であるという事実です。 実数は 3 乗してもやはり実数である以上，t^3 = t でなければいけないわけですね。 ここから t の値を絞ることができます。 あとは，虚数解の 3 乗がどの解と一致しているかで場合分けをしていけば，手数はかかるものの f(x) を求めることができます。 たったこれだけの条件でも，f(x) が決まるのが面白いところですね。 京大の文系数学にしてはかなりの難問ですが，大変面白い内容で，論理的思考力が問われる良問でもあります。 ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 2016年 京大 文系数学 [5] 00:37 実数係数 3 次方程式の実数解 06:19 f(x) = 0 の実数解を求める 10:06 (i) t = 0 のとき 10:57 (i)[1] β^3 = β のとき 11:26 (i)[2] β^3 = βbar のとき 20:01 (ii) t = 1 のとき [1][2] 21:51 (ii)[3] β^3 = 1 のとき 23:18 (iii) t = -1 のとき [1][2][3] 25:16 答えのまとめ 25:51 解法のまとめ 28:41 おわりに