方べきの定理

概要

円の外か内にある点（ここでは ）から、 円と共有点を持つ 本の直線を引いたとき、次の関係が成り立つことを方べきの定理という。

いつも「べき」が平仮名で気になる人も多いと思うが、漢字で書くと「方冪」となり画数が多いので、甘えて平仮名で書こう。

本が接線の場合も成り立つ。

証明

①点 が円の外部にある場合、

四角形 は円に内接しているので、

が成立する。 と は共通なので、 角が等しいことから と は相似となる。 このことから、

つまり、

が示される。

②点 が円の内部にある場合も同様に、円周角の定理から と の相似を示すことができる。

③接線が登場する場合も同様に、接弦定理から と の相似を示すことができる。

証明をもっと詳しく勉強したい！という方は、例えば古賀真輝さんの「方べきの定理」証明動画を参照。いろんなエッセンスが詰まっています！

補足

覚え方としては、円の外か内にある点（ここでは ）をスタートとして、 同じ直線上にある線分（ と 、 と ）を掛け合わせていくと考えると、思い出しやすい。

また、 「方べきの定理の逆」 も成り立つ。つまり、ある点に対して上のような関係式が成り立つ 点があれば、 その 点は同一円周上に存在することがわかる。

上の例では、ある点 に対して、 が

の関係式を満たすとき、 は同一円周上に存在する。