余弦定理

三角形の辺の長さを とし、対応する角の大きさを とするとき、

が成り立つ。これを余弦定理という。正弦定理・余弦定理・接弦定理という弦三兄弟の真ん中（非公式）。 について整理した

を使うことも多い。特にベクトルの分野では、内積とからめて下の式がよく登場する。

図のイメージは以下の通り（残りの角 でも同様に成り立つ）。

証明

点 から線分 に対して垂線を下ろし、足を とする（線分 上にあるとする）。

このとき、

と表わせる。三角形 について三平方の定理を用いると、

となり示された。（ を用いた）

ちなみに、 が線分 上になくても、 関係の公式

などを考えれば、上と同じ証明で行けるので、是非考えてみよう！動画でじっくり学びたい方は、林俊介さんの動画やMathkaratさんの動画がオススメ。

補足

余弦定理の使い方としては 通りあり、

• 辺とその間に挟まれた角から、残りの辺の長さを求めることができる
• 辺から、ある角の を求めることができる（どの角でもOK）

下の三角形の例で確認しよう！

また、余弦定理を使うと、長さの解が2つ出てくることがある。その理由と、そのときにどうすれば良いかについては、例えばぶおとこばってんの動画を参照。