正弦定理

概要

三角形の辺の長さが と与えられ、対応する角の大きさが と与えられるとき、 を三角形の外接円の半径とおくと、

が成り立つ。これを正弦定理という。正弦定理・余弦定理・接弦定理の弦三兄弟の長男（非公式）。図のイメージは以下の通り。 の の存在感が薄いので忘れやすい。また、 を直径と考えないように注意。

証明の概要

直角三角形・鋭角三角形・鈍角三角形に分けて証明する。ここでは概要のみさらっと紹介するので、証明の詳細は例えば古賀さんの正弦定理の証明動画や、Mathkaratさんの証明動画などで確認しよう。

• 直角三角形のとき、 の定義から示せる
• 鋭角三角形のとき、円周角の定理を使いつつ、直角の円周角を作りにいく
• 鈍角三角形のとき、三角形の外接円上に 点を取り、鈍角の内対角を作ると、鋭角三角形が新たにできて、上で示したことと下の関係式で示せる

例

公式の使い方が大事で、使う場面としては 通りある。

• 対応する 組の辺と角（例： と ）と、他の辺か角が つわかっているとき（例： や ）に、その対応する角か辺（例： や ）を求めることができる
• 対応する 組の辺と角（例： と ）から外接円の半径 を求めることができる

下の例で確認しよう。

【例】下の三角形で、辺 の長さと外接円の半径 を求めよ。

【答】まずは の長さについて、正弦定理から、

と求められる。外接円の半径 についても、同様に正弦定理から

と求められる。