Follow Us!!:

アプリなら、たくさんの便利な機能が無料で使える!
今すぐアプリをダウンロードして、もっと自由に学ぼう!

履歴の確認
お気に入り・フォローの登録
通知の受け取り
ファイルの作成・追加・複製
メモの作成・確認
モチベボードの投稿
App StoreからダウンロードGoogle Playで手に入れよう
運営会社お問い合わせ利用規約プライバシーポリシー
YouTube利用規約

© 2025, okke, Inc.

最難関の数学 by 林俊介

【京大1999】有理数・無理数の証明問題(応用編)【整数の性質】

次の動画:【東大2020】高 1 でも挑戦できる東大理系数学【二次関数・集合と論理】

概要

動画投稿日|2021年6月16日

動画の長さ|41:41

✅ 東大に合格したい受験生のための個別指導 (人数限定) https://hayashishunsuke.com/lp/lecture-ut/ ✅ 難関大受験生のための公式LINE:https://lin.ee/lI7n1SJ 登録者特典&受験生向けライブあり 🌟 出版社の方へ https://hayashishunsuke.com/lp/for-publishers/ 数学の書籍を執筆することに強い関心があります。 私に企画のご案内をしてくださる方は,上記ページをご覧ください。 ※これまでの著作:”100年前の東大入試数学” (KADOKAWA) ℹ️ 林俊介のプロフィール https://hayashishunsuke.com/profile/ ・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒 ・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ℹ️ ご注意いただきたいこと ・解説は林俊介独自のもので,大学公式のものではありません。 ・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。 1999年の京大理系数学[5]より,有理数・無理数に関する問題です。 前回の動画では 2 の 3 乗根に関する問題を扱いましたが,それとよく似ていますね。 今回は,(1) で 1, √2, √3(, √6) が Q 上線型独立であることを示し,それを用いて (2) を解いていきます。 (1) のような問題は,東大・京大などの受験生でなくとも一度は解いておきたいところです。 無理数が √2, √3 と 2 つあるのが厄介ですが,移項して両辺を 2 乗することで片方を消すことで解決します。 (2) の難易度が高めです。 f(1), f(√2 + 1), f(√3) のいずれかが無理数であることを証明するので,3 つとも有理数であると仮定して矛盾を導くのが自然で,この方針自体は多くの人が思いつくことでしょう。 しかし,a, b は実数であることしかわかっておらず,有理数か無理数かわからないのです。 ここで手が止まってしまう人が多いように思います。 a, b が有理数か無理数か判断がつかないのであれば,それを消してしまうことでこの問題は解決します。 有理数とわかっているものを文字でおき,それを用いて a, b を含まない条件式を出すことで,(1) の結果が使えるようになります。 ただ,式変形の方法によっては √2, √3 だけでなく √6 も登場してしまい,(1) にさらに √6 も加えた 4 つの線型独立性をいう必要が出てきます。ここも隠れた山場ですね。 √6 も含めた証明をするか,√6 を出さないようにするか。この動画では,双方を解説しています。 ---------- <目次> 00:00 1999年 京大 理系数学 [5] 00:51 (1) 問題解決の方針 03:41 (1) 移項して 2 乗する 05:18 (1) pq ≠ 0 のとき 07:15 (1) p ≠ 0, q = 0 のとき 08:49 (1) p = 0, q ≠ 0 のとき 10:26 (1) 結論と解法のまとめ 12:11 (1) 線型独立性について 14:23 (2) 1, √2, √3, √6 の線型独立性 21:30 (2) 3 つとも有理数と仮定 27:16 (2) (1) の結果を利用する 28:55 (2) 解法のまとめ 32:06 (2) 別解:補題を用いないもの 39:39 (2) 別解のポイント 40:44 おわりに

タグ

#高3#レベル5#数と式#演習

関連動画

39:05
【京大2012】有理数・無理数関連の証明問題【整数の性質】最難関の数学 by 林俊介
19:14
#481 1999京都大 理系 無理数の証明【数検1級/準1級/中学数学/高校数学/数学教育】JJMO JMO IMO Math Olympiad Problems楽しい数学の世界へ
6:18
徳島文理大 数Ⅰ 有理数と無理数 ちょこっと数学part3 #179ぱた/高校数学
20:33
【京大2007】証明の勉強になる良問!命題の真偽判定【整数の性質】最難関の数学 by 林俊介
17:07
【東大1999】まだまだ続く!二項係数の整数問題|大学入試 数学 過去問最難関の数学 by 林俊介

関連用語

一次独立