指数の拡張

概要

負の指数 や、有理数の指数 といった想像を超えた数が出てきたらビビるが、数学的にどのように計算すればいいだろうか。

そこで、 を正の実数、 を整数としたとき、以下の通り定義する。（ については ）

これは定理というよりも、 指数法則を実数に拡張していくために定義されたもの。

上の式では有理数までしか拡張されてないが、無理数の場合にも、たとえば について、

という数列を考えると、値が一定値 に近づいていき、その値を と定めることで定義されていく。

結果として、指数法則は指数が実数の場合に成り立つことになり、 や も計算できるようになってハッピー。