無限降下法

概要

無限降下法とは、背理法の一種で、最小のものがある状況（自然数だったり）で、最小のものよりも小さくできちゃうことを示し、矛盾を示す証明方法。

「存在しない」ことの証明で有効なケースがあるので、下の例で確認しよう。

例

有名ではあるが、 が無理数であることを無限降下法で示す。

が有理数と仮定すると、自然数 を用いて、

と表せる。両辺 乗して整理すると、

よって、 は の倍数なので、 を満たす自然数 が存在。このとき①は

となり、 も の倍数となるので、 を満たす自然数 が存在し、

となり、①と同じ形に戻る。これを無限に続けていくと、 や を無限に で割り続けることができることになり、それは自然数が最小値 を持つことと矛盾する（無限降下法）。

よって、元の仮定が誤りであり、 は無理数だと示される。