【京大2012】有理数・無理数関連の証明問題【整数の性質】

＞━━━━━━━━━━━━━━━━＜ 　　 動画まとめシートを配布中！ 　　　《 林俊介の公式LINE 》 ＞━━━━━━━━━━━━━━━━＜ この YouTube チャンネルに対応した LINE 公式アカウントを開設しました！ ✅ 大学・年度別に動画をまとめたシートを配布 ✅ 登録者限定のライブ・イベントもご案内予定 ✅ 勉強や進路に関するコラムや動画も配信予定 【登録はこちら】（無料です） https://lin.ee/lI7n1SJ トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします。 2012年の京大理系数学より，有理数や無理数関連の証明問題をピックアップ。 (1) は，2 の 3 乗根（のうち実数のもの）が無理数であることを証明する問題です。 √2 や √3 などが無理数であることを証明する問題は，高校数学でよく登場しますね。 教科書にも載っている定番の学習内容です。 3 乗根でも，やることは変わりません。 有理数であると仮定して分数表記し，3 乗して両辺の偶奇を調べる......という流れです。 難関大受験生に限らず，この証明は自分で完成させられるようにしたいところですね。 (2) が少々難しいです。 感覚的には当たり前な気もしますが，ちゃんと証明しようとすると結構手数がかかります。 とはいえ，やることはシンプル。 P(x) を x^3 - 2 で割った余り（高々 2 次式）は有理数係数になるわけですが，その式の x に 2 の 3 乗根を代入したら 0 になるという事実から矛盾を導きます。 0 での割り算に注意して，丁寧に論証していきましょう。 整数の証明問題は難関大入試で頻出ですし，差がつきやすい印象です。 東大・京大の受験生はしっかり時間をかけて対策しておきましょう。 ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 2012年 京大 理系数学 [4] 00:42 (1) 背理法での証明が有効 01:36 (1) 有理数と仮定する 03:52 (1) 補足：論証の際の注意点 07:59 (1) 分母も分子も偶数 → 矛盾 10:52 (1) 解法のまとめ 13:05 (1) 他の証明方法について 17:50 (2) 商と余りのセッティング 20:33 (2) x に 2 の 3 乗根を代入 22:58 (2) 次数下げを行う 26:55 (2) (α の係数) ≠ 0 → 矛盾 29:52 (2) q = 0 でも q ≠ 0 でもダメ 32:32 (2) p = 0 → あとは簡単 34:16 (2) 証明の流れのまとめ 36:31 補足：線型独立性について 38:38 おわりに