一次独立

概要

平面ベクトル が一次独立であるとは、 つのベクトルを含む三角形が一つに決まるということ。つまり簡単に言うと、それぞれが零ベクトルでなく、平行の関係にないことを表す。

難しく定義を言ってしまうと、

を満たす実数 が

のみであることと同値。全部同じことを言っている。なぜこの四文字熟語もどきが大事かというと、 一次独立ならベクトル同士の係数比較ができるようになるから。

例

例えば、 があって、内部の点 について

と 通りで表せたとする。このとき と は零ベクトルではないし平行でもない（三角形を成している）ので一次独立(※) 。よって、係数同士が等しくなり、

という 本の式が立ち、 が求まる。

答案上では、 つのベクトルが違う方向を向いていることを確認したら、(※)は「一次独立なので」とサラッと書いてOK。

補足

空間でも同様に、 本の空間ベクトルが一次独立であるとは、 つのベクトルを含む四面体が一つに決まるということを意味して、係数比較ができる。難しく定義をいうと、平面と同様に、

を満たす実数 が

のみであることと同値。

補足の補足

大学で線形代数を学ぶと、抽象的なもっと深い世界が広がる。

一次独立のことを「線形独立」と言うこともある。一次独立でない場合のことを、一次従属または線形従属と言う。

ちなみに、二次独立という概念はない。（linearという英語を「一次」と訳しているため）

また、上の例でなぜ一次独立だと係数を比較できるかというと、一次独立の定義から、

が成り立つため。