【東北帝國大學】単項式 × 三角関数の積分【戦前入試問題】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 今回は大正13年の東北帝國大學工学部の入試問題。 x のべき乗に sin がかかった形の不定積分をする問題です。 部分積分を行うことで単項式部分の次数をどんどん下げることができるのですが，部分積分をすればするほどたくさんの項が生まれて複雑になります。 x の次数とともに一気に煩雑な式になりますね。 単に x^4 sinx の積分を計算するのではなく，あえて一般化した漸化式を導出して，それを用いて計算してみました。 また，後半は発展的な話題として x^n sinx の不定積分についても言及しています。 第二種不完全 Gamma 関数については，僕自身もよく理解しきれていないので，あくまで「これを用いることで x^n sinx の積分を表現できるよ」という程度で紹介しています。 ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 大正13年 (1924年) の東北大入試 00:17 x^n sinx の積分漸化式を求める 07:14 漸化式を用いて I4 を求める 11:45 不定積分の答えと検算（微分） 14:38 解法のまとめ 15:58 積分の一般項は出せないのか 16:27 第二種不完全 Gamma 関数で表現可能 18:31 n = 2 の場合で成立を確認 25:09 I2 の計算結果と検算 27:43 コメント＆おわりに