xのn乗の導関数

概要

の自然数 乗の導関数は以下の通り求めることができる。

基本的な式なので、 使っていくうちに体に染み込んでいくのが理想。

数学IIでは自然数乗（ や ）しか出てこないが、実は実数全体で成り立つ（数学III）。気になる方は、こちらの「 の 乗の導関数」の辞書を確認。

また、定数項の導関数は であることも押さえておこう。

証明

とおいて、導関数の定義から示す。（導関数？何それ美味しいの？という方は、こちらの「導関数」の辞書を確認）

途中で の展開に二項定理を用いた。（詳しくはこちらの「二項定理」の辞書を確認）

については、極限の定義より、 は限りなく に近づくが にはならないので、 で割ることができる。

例

例えば、 の導関数は、

と計算できる。定数項の導関数は 。

補足

厳密には数学IIIの範囲になってしまうが、数学IIの範囲でも、下の事実を知っておくと便利なことがある。

つまり、 を実数として、 を と変えてもこの導関数の形が成り立つよというもの。より一般的な説明は、こちらの「 次式の 乗の導関数」の辞書を確認！