xのp乗の導関数

概要

の実数 乗の導関数は以下の通り求めることができる。数学IIでは自然数乗（ や ）しか出てこないが、実は実数全体で成り立つ。

とてもよく使う基本的な式なので、仲違いをせず、愛してあげたい公式の一つである。

証明

数学IIで出てくる自然数乗（ や ）は、導関数の定義と二項定理から示せるが、実数乗になると二項定理でうまく展開できず、そうは問屋が卸さない（古語）。

きちんと証明するのは結構しんどい（整数乗を示して、有理数乗を示して...）ので、ここでは の範囲で考えて、 対数微分法で証明してみる（詳しくは古賀真輝さんの動画をチェック）。対数微分法とは、両辺の自然対数を取って導関数を計算する方法。 のとき、

の両辺は正になるので、両辺の自然対数をとると、

となる。この両辺を で微分すると、

この時、左辺は を固まりと見て、合成関数の微分を用いている。変形すると、

が導かれる。

例

補足

の導関数と間違いやすいので注意。こっちは指数関数の導関数になるので、微分すると になる。