1次式のn乗の導関数

概要

の 次式 の自然数 乗の導関数は以下の通り求めることができる。ここでは自然数乗としておくが、実は実数全体で成り立つ（数学III）。

実は細かく言うと数学IIIの範囲とされるものの、下のように数学IIの範囲で証明できるし知っておくととても便利なことが多いので、難関大受験生などは、文系でも是非押さえておきたい。

証明

とおいて、導関数の定義から示す（導関数？何それ美味しいの？という方は、こちらの「導関数」の辞書を確認）。便宜上、 とおいておく。

途中で の展開に二項定理を用いた。（詳しくはこちらの「二項定理」の辞書を確認）

については、極限の定義より、 は限りなく に近づくが にはならないので、 で割ることができる。

例

例えば、 の導関数は、

となり、 展開せずに導関数を計算できるのがウリ。

補足

これを使った積分も大事で、 次関数の接線が絡む面積問題でよく登場する。

右辺から左辺へ、上の導関数の式を考えれば納得できる。詳しくはこちらの「 次式の 乗の積分」の辞書で確認してみよう。