【東北帝國大學】難問！有理関数の積分【戦前入試問題】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 今回も，前々回・前回に引き続き東北帝國大學の入試問題です。 (a) (b) とは異なり三角関数は登場せず，普通の有理関数の積分になっています。 分母が因数分解された形になっているので，部分分数分解をするという発想に自然と至ると思うのですが，因数分解のパーツを揃えるのにまず一苦労です。 分母が 4 次式だったものをいくつかの分数にバラすので，分子は一般的に 3 次式になります。 その係数を揃えて 1 にするので，部分分数分解の際の条件式は ▶︎ 3 次の係数が 0 ▶︎ 2 次の係数が 0 ▶︎ 1 次の係数が 0 ▶︎ 0 次の係数が 1 の 4 つとなり，ゆえに部分分数分解するパーツは 4 つ用意したいところです。 そして，もちろん各パーツは（手計算で）積分可能である必要があります。 こうした条件を踏まえると，分母の因数 2 つそれぞれについて ▶︎ log の微分 ▶︎ arctan の微分 を考えれば，4 種類用意できるので，今回はこれらを利用しました。 用意した 4 つのパーツが独立であるかどうかの判定は簡単ではなく，今回は「なんとなく独立に見える」ものを揃えたというのが正直なところです。 部分分数分解ができ積分を実行できればよいので，パーツの用意自体を厳密にやる必要はない，というのが僕の考えです。 有理関数の部分分数分解，特に「どういう分数に分解すればよいか」いんついて，ご存知の方がいらしたらぜひコメントでお教えください！ ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試 00:21 積分の方針：部分分数分解 01:34 分数は 4 つ用意する 07:14 分解後の係数を求める 09:24 各分数の積分 11:15 答えと解法のまとめ 15:22 類題：分数の調達 17:22 類題：係数の調整 18:37 類題：各分数の積分 20:13 類題：答えと解法のまとめ 21:30 複雑な有理関数の積分 23:37 おわりに