部分積分

概要

掛け算の形の関数の積分については、部分積分という方法が有効なことがある。これは、積分できる関数の幅をグッと広げてくれる。

見方としては、 については積分が外れたのでOKで、残った積分については、「 を微分できて、その代償として が積分される」という式変形で、この残った積分を計算していく。

なので、元の関数の掛け算の形から、 微分した方が計算しやすいものと、 積分されても困らないもの（形が変わらない、次数が上がらない、など）、に分ける必要がある。

言葉ではよくわからないと思うので、例とイメージで確認する。

また、実際に問題を解く上では、定積分での部分積分の公式がよく登場して、

と計算できる。使い方などは、不定積分の場合と全く同じなので、ここでは、不定積分の部分積分について取り上げる。

例

証明

思い出せなくて困ったら、 積の微分の形からすぐに作れる。

を変形すると、

この両辺をで積分すると、

となる。これを整理すると、

と部分積分の形が出てくる。

補足

大まかな方針としては、

• 「微分した方が計算しやすいもの（つまり上の ）」：多項式関数・対数関数
• 「積分されても困らないもの（つまり上の ）」：三角関数・指数関数

と考えて部分積分するケースが多い。ただし、三角関数×指数関数の形の積分になると、どちらかが微分される役に回り、同型出現を狙う発想が重要になる。詳しく学びたい方は、例えば林俊介さんの証明＋例題動画を参照しよう。