【京都帝國大學】面積最大の内接三角形は？【戦前入試問題】

【Amazon・書店等で好評発売中！】東京帝國大學入試問題が書籍になりました！ "100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100" https://amzn.to/3d39zgN 東大入試のみですが，面白い問題を揃え，丁寧に解説しました。 ぜひご覧ください！ ✅ 東大に合格したい受験生のための個別指導 (人数限定) https://hayashishunsuke.com/lp/lecture-ut/ ✅ 難関大受験生のための公式LINE：https://lin.ee/lI7n1SJ 登録者特典＆受験生向けライブあり 🌟 出版社の方へ https://hayashishunsuke.com/lp/for-publishers/ 数学の書籍を執筆することに強い関心があります。 私に企画のご案内をしてくださる方は，上記ページをご覧ください。 ※これまでの著作：”100年前の東大入試数学” (KADOKAWA) ℹ️ 林俊介のプロフィール https://hayashishunsuke.com/profile/ ・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒 ・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ℹ️ ご注意いただきたいこと ・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。 ・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。 今回は，大正14年の京都帝國大學工学部の入試問題。 「与えられた円に内接する三角形のうち面積最大のものは正三角形である」という事実を証明していきます。 京都大学の入試では，今回のような「図形に関する自由度の高い証明問題」が時折出題されます。 こうした問題では，座標や長さ・角度等をいきなり全て文字でおくと失敗しやすいです。（変数の数が非常に多くなるので。） まず定性的な考察によって自由度を減らし，単純化してから必要な箇所を文字でおくのがポイントです。 証明すべき事実や証明のプロセス自体は難しくないのですが，証明の方針を立てたり文字のセッティングをしたりするところで差がつきやすい問題だと思います。 ★訂正 角度 β が 180° より大きいときは，△PQR の面積の表式が変わりますね。ごめんなさい💦 今回の場合，まず面積が最大になる β の値を求めてから △PQR の面積を α で表すべきでした。 そうすれば必ず β は 180° より大きくなるので，今回の式で問題ありません。 ご指摘くださった方，ありがとうございます！ ---------- ＜目次＞ 00:00 大正14年 (1925年) の京大入試 00:20 スケール（円の半径）は無関係 01:50 減らせる自由度について 03:08 頂点の 1 つを固定する 05:05 残りの 2 頂点の順番を固定する 07:39 △PQR の面積を求める 11:13 面積最大化の方針は 2 つある 12:59 ① 図形的に考え高さを最大化 16:59 ② S(α, β) を β で微分する 23:20 ①, ② の比較（コメント） 25:39 α を固定したときの S の最大値 27:33 S+(α) を微分して極値を調べる 32:03 S が最大になるとき（答え） 33:13 補足（面積の最大値） 35:38 解法のまとめ 39:49 おわりに