円順列

概要

回転して同じものになるものを1通りとカウントするような順列を、円順列という。

異なる 個のものを並べる円順列の場合の数は、 通りであることを押さえておこう。

「とにかく1つを固定！」とか「マイナス1して階乗！」などと、呪文のように刷り込んでいる（まれている）方も多いかもしれないが、円順列マスターになるには、 という式で求めることができる「理由」 を押さえておくことが大事なので、下でしっかりと確認しよう。

例

男子2人、女子2人が、円形のテーブルに等間隔で座るとき、場合の数は

となる。

公式の理由

例えば、上の例に合わせて、こんな席に4人（A, B, C, D）が座るとする。

4人の順列なのだから、各席について誰が座るかを考えれば、総数は

となりそう。

ところが、この24通りの中には、例えば下のような4通りが含まれている。

実はこれらの4つは、回せば同じ形になっているので、円順列を考える際には同じものとみなされ、1通りとカウントしないといけない。

24通りの総数の中には、このように4つずつ「回転して同じになるペア」があるので、円順列の場合の数は、

となる。

一般化すると、異なる 個のものを並べる順列の総数は 通りだが、円形に並べると、回転したら同じものが 個ずつ出てくるので、 通りとなる。

「1つを固定」とは

「1つを固定して残りを並べよ！」というフレーズを聞いたことがある方も多いと思うが、これは、1つをどこかに固定すれば、（平面の場合は）上のような回転して同じになるものが出てこなくなるので、残りのものを自由に並べる順列を考えればよくなるし、それで漏れなく数えられるよね、という作戦。

とても便利なので、理由をしっかり押さえた上で考え方を押さえておこう。

最初の例だと、例えばAくんを上の席に固定して、B〜Dの座り方として

と求められる。

補足

でもテーブルって普通四角じゃない？円形とかニトリでしか見たことないんですけど。という方も多いと思う。

四角形のテーブルに座る順列だとどうなるかを考えることで、円順列の理解がとても深まるので、興味のある方はこの 福田次郎さんの演習動画 を見てみよう。