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ℹ️ 林俊介のプロフィール
https://hayashishunsuke.com/profile/
・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので,大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。
2009年の京大理系数学甲 [6] より,極方程式で表される曲線の長さを求める問題です。
カージオイド( cardioid )と呼ばれる有名な曲線ですね!
(ただし今回はあくまで曲線の長さを求める問題なので,名称や形状には着目せず,計算の方法を説明しています。興味がある人は「カージオイド」等で検索してみてください。)
極方程式で表された曲線の長さの公式(前回の動画で紹介したもの)を使えば簡単に計算できますね!
それを使わなくても,xy 座標に直して計算すれば同じ積分形を導けます。
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<目次>
00:00 2009年の京大理系数学甲 [6]
00:32 解説①:xy 座標で考える方法(面倒)
01:13 解説②:dx/dθ, dy/dθ を求める
02:23 解説③:dx/dθ, dy/dθ から dL/dθ を計算
04:27 解説④:dL/dθ を積分し,曲線の長さを求める
06:41 解説⑤:極座標での曲線長の計算公式を使う方法(超便利)
08:40 まとめ:極方程式なら極座標 ver. の公式の方が圧倒的に便利
09:30 補足:r = 1 + cosθ の曲線には名前がついている
09:50 おわりに