## 概要

数学3の積分の最後の方に登場するので、無視されがちな公式であるものの、入試で登場することもあるので、**必要になれば思い出せるようになっておこう。**

平面上の曲線が、**媒介変数（パラメータ）$t$** を用いて

$$x=f(t), \ y=g(t) \ \ (a\leqq t\leqq b)$$

と表されるとき、この曲線の長さ $L$ は

$$\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\cdots(\star)$$

で表される。

![Untitled 1 P1 232.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/MgIX1qOWdZLbx/c6a7dc64b36b48a7847e330816443fa3.png)

また、曲線の方程式が

$$y=f(x) \ \ (a\leqq x\leqq b)$$

の形である場合には、先ほどの式で 

$$x=t, \ y=f(t) \ \ (a\leqq t\leqq b)$$

とおけばよく、

$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=1\\\\
\frac{dy}{dt}&=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dx}=f'(x)
\end{align}
$$

なので、$(\star)$ に代入すると、曲線の長さ $L$ は

$$\int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}dx\cdots(\star\star)$$

で表されることがわかる。

![Untitled 1 P1 233.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/MgIX1qOWdZLbx/8ee94218484d462996933628f5b1e66c.png)

**媒介変数表示のときは上の $(\star)$ の式、$y=f(x)$ の形のときは下の $(\star\star)$ の式を使うと頭を整理しておこう！**

## 簡単な証明

ここでは **$(\star)$ が成り立つ理由について、教科書的な説明で雰囲気を理解しておこう。**

動画で理解したい方は、
- 簡潔に学びたい方は[高瀬先生の動画](https://okedou.app/videos/WgBalELfc4o)
- 詳しめに学びたい方は[AKITOさんの動画](https://okedou.app/videos/s11eCk9cCHA)

がオススメ！

平面上の曲線が、媒介変数（パラメータ）$t$ を用いて

$$x=f(t), \ y=g(t) \ \ (a\leqq t\leqq b)$$

と表されるとき、始点 $A(f(a), \ g(a))$ から点 $P(f(t), \ g(t))$ までの曲線の距離を $s(t)$ とおく。

このとき、**曲線の長さ $L$** は

$$L=s(b)-s(a)$$

で求められるので、これを求めていこう。

$t$ を $t+\Delta t$ に増やしたときに、$x, \ y$ がそれぞれ $x+\Delta x, \ y+\Delta y$ になるとし、点 $Q$ を次のようにおく。

$$
\small\begin{align}
P&:(x, \ y)=(f(t), \ g(t))\\\\
Q&:(x+\Delta x, \ y+\Delta y)=(f(t+\Delta t), \ g(t+\Delta t))
\end{align}
$$

**$\Delta t$ が極めて小さい正の値のとき、$s(t)$ の増分** 

$$\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)$$

**は、線分 $PQ$ の長さにほぼ等しい。**

![Untitled 1 P1 234.png](https://oke-files.s3.amazonaws.com/uploads/MgIX1qOWdZLbx/f97640c1c4ef44bcaf696ed2063b23d8.png)

よって、

$$\Delta s\fallingdotseq\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

を得る。両辺 $\Delta t$ で割ると、

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}\fallingdotseq\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)^2}$$

となり、ここで $\Delta t\to 0$ とすると、

$$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$$

よって、これを $t:a\to b$ で積分すると、

$$
\begin{align}
\int_a^b\frac{ds}{dt}dt&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\\\
\int_a^bds&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\\\
s(b)-s(a)&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\\\
L&=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt
\end{align}
$$

と求められる。

## 例

【問1】

$$x=\cos t, \ y=\sin t$$

で表される曲線の $0\leqq t\leqq \pi$ の部分の長さ $L$ を求めよ。

【答1】

$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=-\sin t\\\\
\frac{dy}{dt}&=\cos t\\\\
\end{align}
$$

より、求める長さ $L$ は、

$$
\begin{align}
L&=\int_0^{\pi}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\\\
&=\int_0^{\pi}\sqrt{\left(-\sin t\right)^2+\left(\cos t\right)^2}dt\\\\
&=\int_0^{\pi}1dt\\\\
&=\pi
\end{align}
$$

と求められる（$(\star)$ を用いた）。実は問題文の媒介変数表示は、半径1の円を表しており、求める長さは、上半分の円周の長さとなるので、

$$2\pi\times \frac{1}{2}=\pi$$

と求めることもできる。（[円の媒介変数表示の辞書はこちら](https://dic.okedou.app/words/p/c3uM7V2taN8X8)）

【問2】

$$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

で表される曲線の $0\leqq x\leqq 2$ の部分の長さ $L$ を求めよ。

【答2】[指数関数の導関数](https://dic.okedou.app/words/p/Up2ViUbQ4Gqot)を考えると、

$$
f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
$$

より、求める長さ $L$ は、

$$
\begin{align}
L&=\int_0^2\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dt\\\\
&=\int_0^2\sqrt{1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2}dt\\\\
&=\int_0^2\sqrt{\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}dt\\\\
&=\int_0^2\sqrt{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2}dt\\\\
&=\int_0^2\frac{e^x+e^{-x}}{2}dt\\\\
&=\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^2\\\\
&=\frac{1}{2}\left(e^2-\frac{1}{e^2}\right)
\end{align}
$$

と求められる。（$y=f(x)$ の形で方程式が与えられていたので、$(\star\star)$ を用いた）

ちなみに、今回の

$$f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

という曲線には、**カテナリー（懸垂線）** という名前がついていて、糸などを水平に張ったときに自分の重みでたわんだ曲線は、このタイプの式で表される。

### 補足

平面上の曲線が**極座標で表示されている場合**がたまに登場し、その場合の曲線の長さの公式も存在するので紹介する。曲線 $r=f(\theta) \ (\alpha\leqq\theta\leqq\beta)$ の長さは、

$$\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta$$

で表される。導出は[林俊介さんの動画](https://okedou.app/videos/_2EJbqzQx9Y)で確認しよう。

問題で出た場合には、直交座標での媒介変数表示に変換し、上の $(\star)$ を使って長さを求めることもできるので、この公式は必須知識ではないものの、知っていると計算がラクになることが多い。

入試問題としては、例えば**2009年に京大で出題**されている。同じく林俊介さんが、直交座標でも極座標でも解説されているので、[動画で確認しよう](https://okedou.app/videos/Rn70uFpVB-g)。

曲線の長さ

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