ヘロンの公式

概要

三角形の辺の長さを とする。これらの辺の長さから、

という値を計算して、それを使うことにより、三角形の面積 を、

で求められる。これをヘロンの公式という。形がきれいなわりに、登場回数の少ない地味〜な公式。

例

辺の長さが の三角形の面積は、

の値を用いて、

と求められる。

証明

余弦定理を用いると、角 の大きさは、

となる。ここで は、三角比の公式より、

と求められる（2乗の差は和と差の積に等しいという公式を多用している）。このとき、三角形の面積 は、

となり、ヘロンの公式が示された。

を使ったカッコいい証明もあって、ガチでノビる受験数学のシーナさんの動画を参照。しびれる。

補足

使い方としては、三角形の 辺の長さがわかる時に、その三角形の面積を出すことができる（角度がわかってなくてもOK）ことが大事。

ただ、 の値が汚くなると、計算がめんどくさくなる傾向にある

ちなみに、三角形の 辺が決まれば、三角形は つに決まるため、当然面積は決まるはず。その値を求めているのがヘロンの公式の仕事。

ちなみにちなみに、円に内接する四角形の面積を求める、プラーマグプタの公式という綺麗な公式もある。例えばこちらのたてぃこさんの動画で学んでみよう。