三角形の面積

概要

の面積は、2つの辺とそのなす角の を使って、

で計算できる。道ゆく人に、三角形の面積公式は？と聞いたら、ほとんどの人は「底辺×高さ÷2」と答えると思うが、高校数学では、 2つの辺とそのなす角の の情報があれば、どんな三角形の面積もすぐに計算できるようになる。

ちょっと大人になった気分。

また、数学Bのベクトルの範囲になるが、 の面積は、

を使っても計算できる。さらに、

とおくと、成分で計算することもできて、

となる。

証明（ベクトルじゃない方）

三角形の面積公式

を示す。頂角の大きさによって図が変わってくるので、以下、 の大きさにより場合分けする。

【 i 】 のときは、

から に垂線を下ろすと、垂線の足 は線分 上にある。

高さ については、 に着目すると

と求められるので、三角形の面積は

となり が示される。

【 ii 】 のときは、

となるので、三角形の面積は、

となり が示される。

【 iii 】 のときは、

から に垂線を下ろすと、垂線の足 は線分 の外にある。

高さ については、 に着目すると

と求められるので、三角形の面積は

となり が示される。（180°関係の公式を利用している）

以上【 i〜iii 】で証明完了。

証明（ベクトルの方）

上で示した三角形の面積公式

を使って、示していく。ここでは三角形が存在しているとして、

で考える。

となって、示したかった式 がそれぞれ示された。（1行目で三角比の公式、3行目で内積の式を使っている）

補足

• 面積を求めたい三角形の1つの頂点を基準点として、残りの2点の位置ベクトルを求めると、このベクトルの公式が使える（上では基準点をOとして考えているが、原点である必要はない）
• 成分表記の内積を使ったうまい証明は、ガチでノビる受験数学のシーナさんの動画を参照。
• ベクトルでの表記は空間ベクトルでも成り立つが、成分表記は平面ベクトルのみで成立。これは勘違いしやすいので注意を！
• 成分表記はよく忘れてしまう。記憶が曖昧なときは、 わかりやすい簡単な図形、例えば下の で確かめてみると良い