分点公式

概要

線分 を に内分する点を とおくと、

が成り立つ（ は基準点）。内分点の座標の式と同じ形で、内分点の座標は、これを成分表示したもの。

外分の場合には、 のうちどちらかをマイナスにして代入すると成り立つ。つまり、 に外分であれば、

となる（ をマイナス、 をプラスにしても、結果は変わらない ）。これも外分点の座標と同じ形。

証明

内分の場合を示す。点 は線分 を に内分するので、

となり示される（最初の式は、共線条件とベクトルの長さの比を用いた）。

補足

分子の掛け方の覚え方としては、内分点の座標と同様に、 内分する比を遠い点の位置ベクトルと掛け合わせるイメージ。

つまり、 は に掛けて、 は に掛ける。

この式は空間ベクトルにも使うことができる。

また、この分点公式は複素数平面でも使える（数学III）。つまり、複素数平面上の 点を とすると、線分 を に内分する点に対応する複素数は、

で求められる（外分の場合も同様に、 のどちらかをマイナスにして代入）。