内積

概要

2つのベクトルの内積は、「 」で表し、 つのベクトルのなす角 を用いて、次のように定義される。

よくゴミと間違うが、この小さい点はとても大事。

ここで、なす角 は、 つのベクトルの始点を合わせた時の角度であることに注意（ つの終点と つの始点を合わせないように）。

とベクトルの成分をおくと、

と成分でも計算できる。

空間ベクトルの場合は、角度を用いた定義は上と同じで、成分の計算は、

とベクトルの成分をおくと、

で計算できる。

例

(1) 定義による求め方

（問）、、さらに と のなす角を とするとき、これらのベクトルの内積を求めよ。

（答）以下のように計算できる。

(2) 成分による求め方

（問）、 とするとき、これらのベクトルの内積を求めよ。

（答）以下のように計算できる。

証明

ここでは、内積の定義から、上の成分表示を証明する（平面の場合、かつ簡単のため とする）。

原点 を用いて、

とベクトルの成分をおく。

なので、

と計算できる。さらに、 において余弦定理より、

が成り立つので、

と示される。