2乗の差は和と差の積

概要

中学数学でも学ぶ、この因数分解の式

は、高校数学でも大活躍する。因数分解の分野だけではなくて、整数分野で解を絞り込むときにも活躍する。例えば、 や が整数のときには、 と の偶奇は一致することも知っておこう。

つまり片方が偶数だったら、もう片方も必ず偶数、もし片方が奇数だったら、もう片方も奇数、となる。

例

【因数分解】

【整数問題】

を満たす自然数 の組を求める。

このまま眺めていても、何も起きないので、まずは、整数問題の原則の一つに 「積の形にして組み合わせを絞る」 というのがあるので、左辺を因数分解する。

ここで、 は自然数なので、 かつ 、さらに と の偶奇は一致するので、ありうる の組み合わせは、

しかない。このように、特徴に気づくと大きく絞り込むことができる。あとはこれを解いて、

と求められるので、これが答えとなる。

補足

ヨビノリさんの一発ギャグとしても有名。「一階席〜、二階席〜、和と差の積〜」