中学数学・高校数学で登場する公式を導出していきます。
※特に極限が関係するもの (導関数など) については，厳密な証明ではなく，"だからこういう形の式になる" というのを納得するための説明をしています。

加法定理の応用として，今回は 2 倍角の公式の証明を扱います。
加法定理同様，この定理も大学入試で超頻出ですね！
といっても，2 倍角は加法定理の特殊な場合なので，加法定理だけ覚えておけば OK です♪
動画で紹介している例題も典型的なものなので，ノーヒントで解けるようにしておきましょう！
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【プロフィール】
林 俊介 （はやし しゅんすけ）
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。

2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒

・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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MATH

【大学入試頻出】2 倍角の公式の証明と例題

今回は，文系の大学受験生でも知っておくと便利な積分公式をご紹介します。
厳密には数学 III の範囲なのですが，この公式を知っておくと面積計算などが大変捗るので便利です。
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【公式証明シリーズ】文系でも知っておくと便利な積分公式

数学 III で学習する「積の微分」の公式。
ほとんどの人は公式の形だけ暗記していると思いますが，どうしてこの形になるのか説明できますか？
導出を知っておくと，公式の理解が深まり，f(x)g(x)h(x) の微分など応用もできるようになります。
ぜひこの動画で，積の微分の公式導出を勉強してください！
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【公式証明シリーズ】積の微分の公式を導こう

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東大入試でも出た証明問題！他にも国公立大の入試解説などをやっています。ぜひチャンネル登録してください。

高校数学 II 「三角関数」で学習する三角関数の加法定理。
今回はこれの導出を説明します。

1999 年度の東大の入試でも出題されて話題になりましたね。
今回は，単位円を用いて導出していきます。
ほかにもいろいろな方法があるので，ぜひ考えてみてください！

※ただ，僕としては 1999 年度の東大入試での出題を「伝説の入試問題」として面白く扱うつもりはありません。
仮に東大で出題されなかったとしても，加法定理の導出「くらい」は自分でできなきゃいけません。
高校数学で登場する公式は，各自で導出できるようにしておきましょう！（※極限の厳密な証明などは除く）

00:00 今回のテーマは「加法定理の証明」
00:43 証明のセッティング 1
03:09 証明のセッティング 2
05:54 二つの長さは等しいので...
07:07 [3] 以外の公式の証明
10:31 まとめ
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【東大の有名問題】sin, cos の三角関数の加法定理の証明

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今回は，高校数学 III で登場する三角関数の微分公式の導出です。
実際に大学入試での出題例もあるので，侮れません。
定義に従って微分を書き下し，加法定理で展開して...
あくまで素直に計算していくだけなのですが，案外できない人が多いと思います。
ぜひこの動画でマスターしてください！
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【公式証明シリーズ】三角関数の微分公式の証明

「点と直線の距離」の公式。
高校二年生の数学の中でもだいぶ難しめのヤツですよね。
どうしてこういう形になるのか，気になるところだと思います。
というわけで，今回はこの公式の導出です！
点と平面の距離（空間）でも同様の考え方ができ，ベクトルの演習としてちょうど良いので，ぜひ自分でも平面・空間 ver. の導出をしてみてください！
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【公式証明シリーズ】点と直線の距離の公式

前回の動画に続き，今回は余弦定理の証明をしていきます。
H30 の共通テスト試行調査では正弦定理の導出が出たので，もしかしたら余弦定理の方が本試験で出題されるかもしれません！
なので，受験生のみなさんはぜひマスターしておいてください。
※今回の動画では角度が鋭角か直角か鈍角かで場合分けをしていますが，三角形を座標平面において考えるなどすれば場合分けは不要です。
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【公式証明シリーズ】余弦定理の証明

今回もご視聴ありがとうございます！気に入っていただけたらぜひチャンネル登録お願いします。

前の動画で，極方程式で表される曲線の長さの公式を扱いました。
今回はその面積 ver. です。
公式の形を導き，それを用いてカージオイド（ cardioid ）の面積を計算していきます。

極座標は，大学以降の数学・物理で頻繁に登場します。
余裕のある受験生は，今のうちに覚えておきましょう。
極座標の公式を覚えると簡単に計算できる大学入試もありますね。

＜目次＞
00:00 今回のテーマは「極方程式と面積」
00:59 導出①：目標設定
02:43 導出②：dS を近似して求める
04:40 導出③：dθ の最低次の項のみ抽出 → 公式導出完了
07:54 例題①：円 r = R の面積
09:11 例題②：カージオイド r = R(1 cosθ) の面積
13:08 まとめ：入試でも検算等に使える
13:34 おわりに
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極方程式と図形の面積｜大学入試 数学 極座標

今回は，高 2 の数学で登場する tan（正接）の加法定理について，
・定理が成り立つことの証明
・加法定理を用いて解ける例題の紹介
を行います。

sin, cos の加法定理が理解できていれば，tan の加法定理はすぐに証明できます。
tan の加法定理は一見マイナーですが，実は大学入試で頻繁に登場するので大切です。
例えば tan 1º が有理数かどうか判定する京都大学の有名な入試問題でも使用しますよね。
というわけで，この動画で一通りマスターしちゃいましょう！
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【公式証明＆例題】tan の加法定理

今回は，誰もが知っている「三平方の定理」の導出をしていきます。
証明方法は 100 通り以上あると言われていますが，その中でもだいぶシンプルなものをご紹介。
三平方の定理の証明は，時折穴埋め形式で高校入試で出題されることもあるので，意外と侮れません。
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【公式証明シリーズ】三平方の定理の証明

今回は，高校二年生の数学で登場する
・1/6 公式
・1/12 公式
あたりをすぐに作れてしまう積分公式のジェネレーターについて説明します。
数学 III レベルの知識が必要ではありますが，得られる結果は非常に便利です。

今回のように指数に文字を含む積分計算では，部分積分を行うことで積分の漸化式が得られるケースがあります。
sin や cos の n 乗の積分なんかが代表例ですね。
今回の結果自体も便利ですが，導出のステップも有用です。
ぜひ最後までご覧ください！
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【 1/6 も 1/12 も】積分公式ジェネレーター

今回は，高校数学 II で登場する多項式の微分公式を証明します。
文系でも学習するこの公式。ちゃんと証明できますか？

証明ができなくても問題を解くときに困りはしませんが，
「なんで指数の n が係数になるんだろう？」
「なんで指数が 1 小さくなるんだろう？」
という疑問が解消するので，ぜひ最後までご覧ください！
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【公式証明シリーズ】多項式の微分の公式

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今回は正弦定理の証明をしていきます。
証明なんて勉強しないでいいでしょ...と思いきや，この証明は共通テスト試行調査（H30）でも出題されているんです。
というわけで，受験生必見です！
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【公式証明シリーズ】正弦定理の証明

高校二年生の数学で習う，3 乗の和の公式。
なぜこんな形をしているのか，考えたことはありますか？
前回は 2 乗の和の公式でしたが，今回は同じ方法で 3 乗の公式を導出します。
4 乗とか 5 乗も同じ方法で公式を導けるので，ぜひやってみてください！
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【公式証明シリーズ】３乗の和の公式

今回は部分積分が成立する理由と，部分積分を用いて解く積分の問題をご紹介します。

部分積分は，理系の大学受験生は絶対に使いこなせる必要がある重要なものです。
でも，なぜこのような形になっているのか，なぜマイナスが付くのかなどいろいろ疑問があると思います。
そうした疑問にお答えするために，導出から丁寧にご紹介しました！
また，部分積分を用いる典型的な例題も扱っているので，部分積分のありがたみがきっとわかると思います。
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【理系受験生必須】部分積分の証明と例題

中学の数学で学習する，球の体積と表面積の公式。
これらの関係性について，複数の観点から説明しました。
特に球の半径を少し大きくする方法は，高校数学の微分にも通じる非常に重要な考え方です！
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【球を切ったり膨らませたり】体積と表面積の公式の関係

高校二年生の数学で習う，2 乗の和の公式。
なぜこんな形をしているのか，考えたことはありますか？
今回は，この公式の導き方をご紹介します。
ここで紹介する方法は，3 乗や 4 乗の和の公式を導くときにも使える非常に実用的なものです！
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【公式証明シリーズ】２乗の和の公式

前回に引き続き，公式の導出シリーズ。今回は「商の微分」の公式です！
積の微分よりもずっと複雑な形をしているので，なぜこういう形になるのかわからない人も多いはず。
導出を知っておくと，公式の理解が深まり，f(x)g(x)h(x) の微分など応用もできるようになります。
ぜひこの動画で，商の微分の公式導出を勉強してください！
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【公式証明シリーズ】商の微分の公式を導こう

高校数学 III で学習する指数関数の微分公式。
今回はこれの導出を説明します。

公式の導出なんて知らなくていいだろ，と思うかもしれません。
でも，過去には（三角関数の微分などの）出題例があります
数学的に厳密である必要はないので，「なぜこの形になるのか？」という疑問に簡単に答えられるようにしておきましょう！
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【公式証明シリーズ】指数関数の微分公式の証明

高校数学 III で学習する対数関数の微分公式。
今回はこれの導出を説明します。

公式証明シリーズとしていろいろな動画をお送りしていますが，ここまでくるとだんだん証明のコツもわかってくると思います。

結局やることといったら，
・まずは定義に従って微分の式を書き下す
・知っている公式が使える形に持っていく
くらいなんですよね。

それが理解できれば，公式の証明はそんなに苦労しません！
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【公式証明シリーズ】対数関数の微分公式の証明

積の微分・商の微分について，合成関数の微分です。
これまでとはまた違った式変形が必要なのですが，基本方針は
「微分の定義式の形を作る」
ということで共通しています！
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【公式証明シリーズ】合成関数の微分の公式を導こう

2 倍角の公式の続きで，3 倍角の公式です！
2 倍角よりも登場頻度は少ないですが，難問と絡めやすいということもあり，難関大志望者はぜひとも覚えておきたい公式ですね。

とはいえ，証明自体は加法定理や 2 倍角の公式を用いればすぐにできます。
加法定理さえ覚えておけばなんとかなるというのも事実です。
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【いろいろな難問で登場】3 倍角の公式の証明と例題

今回は，高校二年生の数学で学習する等比数列の和の公式を導出していきます。
「公比倍して引き算する」という考え方は，他にも
・無限等比級数
・連分数
・フラクタル
などいろいろなところで顔を出すので，ぜひ覚えておきましょう！
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【いろいろな難問で登場】3 倍角の公式の証明と例題

シリーズ

公式導出シリーズ #21

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