【京大2004】誘導を利用しスッキリ解決！平方数の方程式【整数の性質】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 今回は，2004年の京大入試より，整数の方程式の問題をピックアップ。 a, b, n を 0 以上の整数としたときに，a, b の方程式 a^2 + b^2 = 2^n の解を求めるというものです。 ただ，単に方程式を示されるだけだと，どのように問題を解いたらいいか分からないですよね。 そこで (1) が重要になります。 2 つの平方数の和が 4 の倍数ならば，その平方数それぞれも 4 の倍数である，ということを証明するのです。 これにより，指数 n が大きいときも，指数を下げていくことが可能となります。 (1) を利用すれば (2) は解決。 n が大きいと解はたくさんある気もしますが，実は高々 2 組しかないというのが面白いですね。 特別なテクニックは必要なく， ▶︎ 偶奇に着目した場合分け ▶︎ 整数に関する問題の証明 ▶︎ 誘導問題の利用 などの要素が詰まった良問です！ ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 2004年 京大 文系数学 [5] 00:35 (1) 奇数があるとどうなるか 03:13 (1)平方数の余り (mod 4) 05:00 (1) a^2 + b^2 の余り 06:03 (1) 余りが 0 になる条件 07:07 (1) 解法のまとめ 07:57 (2) 方針：(1) を利用する 11:20 (2) 指数 n が 2 小さくなる 12:35 (2) 指数をできる限り減らす 13:58 (2) ここまでのまとめ 14:33 (2)(i) n が偶数のとき 17:40 (2)(ii) n が奇数のとき 19:57 (2) 解法のまとめ 21:50 おわりに