>━━━━━━━━━━━━━━━━<
動画まとめシートを配布中!
《 林俊介の公式LINE 》
>━━━━━━━━━━━━━━━━<
この YouTube チャンネルに対応した
LINE 公式アカウントを開設しました!
✅ 大学・年度別に動画をまとめたシートを配布
✅ 登録者限定のライブ・イベントもご案内予定
✅ 勉強や進路に関するコラムや動画も配信予定
【登録はこちら】(無料です)
https://lin.ee/lI7n1SJ
★リメイク版作りました!
解説の不要箇所を削除し,理解しやすくしています。(問題 b の解説もあります)
https://youtu.be/T5xK_tmP1Uw
トップを目指す受験生のために,国公立大学の入試問題を中心に,大学入試の数学を解説中!ぜひチャンネル登録お願いします✨
今回は,東北帝國大學の入試問題より,tan の冪乗の不定積分をピックアップ。
tan がらみの積分は,sin や cos と違った式変形をすることが多く,扱っていて面白いですね。
今回も,初手は部分積分ではないのが特徴的です。
漸化式を立てたら,それを用いて一般項を求めるのですが,I_{n} と I_{n-1} の差ではなく和が出てくるので,一般項を求める際は -1 の冪乗をかけるのがポイントですね。
最終的に,今回はシンプルな形ではなく,複数個の tan の和になります。
問題では 2n 乗(つまり偶数乗)しか問われていませんが,せっかくなので奇数乗も計算してみました。
大まかな流れは一緒ですが,tan^0 (=1) の積分と tan^1 の積分の違いが結果に現れます。
★補足
J の積分でなぜか部分積分をしていますね......
もちろん誤りではないのですが,普通に冪乗の合成関数の微分なので,部分積分をする必要はありません!
----------
<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
----------
【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
----------
<お仕事のご依頼>
チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします!
----------
<目次>
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:25 方針:漸化式を出す
00:48 積分 I_n を分解
02:23 積分 J の計算
05:45 積分 I_n の漸化式
06:30 漸化式の使い方
11:53 解法のまとめ
13:14 n = 4 の場合のチェック
14:43 2n+1 乗(奇数乗)の積分
17:54 おわりに