合成関数の積分

概要

積分の計算において、中身の 「合成関数の微分」の形を見抜くことが鍵となることがある。形を見抜けた瞬間に、世界が晴れる人もいる。公式のように書くと下のようになるが、この式を覚えてもしょうがないので、下の例題で確認しよう。

また、「合成関数の微分」は下の式であり、 「中身を固まりと見て微分し、その固まりの微分を掛ける」 という考え方がとても大事。身に覚えのない子は、「合成関数の微分」の辞書に戻って確認しよう。

例題

次の不定積分を考えよう。

まずは、この形が出てきそうな合成関数の微分の式を考えると、

に気付くので、 は

と求められる（ は積分定数）。展開せずに求められるのが魅力で、 定数倍のズレであれば、このようにチョチョっと調整すればOK。

もう 問、これも求めてみよう。少し難易度が上がる。三角関数の導関数を忘れた方は、こちらから復習しよう。

まずは、三角比の公式で を に変える。

ここで、 の微分が となることに注目して、合成関数の積分を疑う。この形が出てきそうな合成関数の微分の式を考えると、

となって、求める積分の中身の定数倍が出てきた。なので、 は

と求められる（ は積分定数）。

何らかの関数と、 その微分っぽいものがくっついていると、この合成関数の積分の考え方が使えないかな〜と調べてみるのが良い。これを使いこなせるようになると、積分できる関数が広がって行く。

補足

微分形の接触、とも呼ばれる。（ヨビノリさんの今週の積分シリーズだと、この呼び方がされている）

関数分の導関数の積分も、結局は、対数関数を使ってこの合成関数の積分の式変形をしているにすぎない。