指数関数の導関数

概要

数学IIIでは、指数関数の導関数も求めることができる。特に の導関数 は、三角関数や対数関数の導関数と肩を並べる人気者。あらゆる大学から引っ張りだこである。

公式は、

上は、 は微分しても のままという公式。下の式に を代入した式になっている。

証明

両辺の自然対数を取って導関数を計算する 「対数微分法」 という方法で

を示す。また指数関数の底の条件として、 で考える。

の両辺の自然対数をとると、

この両辺を で微分すると、

この時、左辺は対数関数の導関数を使っていて、 を固まりと見て、合成関数の微分を用いている。変形して、 を代入すると、

が導かれる。上で述べたように、 とすると

が出てくる。