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2008年の京大理系数学より,グラフの共有点に関する問題をピックアップしました。
y = px + q という 1 次関数のグラフと y = logx という対数関数のグラフが共有点をもたないような p, q の必要十分条件を求めます。
シンプルな設定の問題で,実際難易度も低いのですが,今回は 2 つの解法で攻略します。
双方の解法を使えるようにするとよいと思います。
また,答案の途中で必要となる「多項式(単項式)と対数の発散速度」についても補足説明をしてみました。
感覚的には当たり前の事実ではあるのですが,ちゃんと証明できるようにしておきましょう。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2008年 京大 理系数学 [1]
01:14 解法1 連立して定数分離
04:27 解法1 関数 f(x) の増減 (p>0)
12:02 解法1 関数 f(x) の増減 (p≤0)
14:39 解法1 2 つの場合のまとめ
15:24 解法1 のまとめ
18:03 補足: 多項式と対数の強弱
28:28 解法2 接線に着目する
30:53 解法2 関数 logx の増減
32:34 解法2 接線の方程式
34:36 解法2 接線の傾きの制限
38:00 解法2 のまとめ
38:32 学習者へのアドバイス
39:35 おわりに