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2007年の京大理系数学より,数列の極限に関する問題です。
互いに異なる正実数 x, y を含む漸化式により定義された数列があり,その極限が有限値に収束するような x, y の範囲を図示します。
文字を含んでいることもあり,一見面倒な形をした漸化式ですが,よく見るとそこまで苦労せずに解くことができます。
まずは一般項を計算してみましょう。
その後,x, y の値によって場合分けし,n → ∞ での極限を求めます。
▶︎ 漸化式から一般項を求める
▶︎ 一般項の形をもとに場合分けする
▶︎ 各々の場合での極限を求める
という具合に,様々な分野の考え方を用いる良問だと思います。
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<Twitter: @884_96>
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 2007年 京大 理系数学 甲[2] 乙[2]
00:43 漸化式を解きたい
02:47 定番手法:y^(n+1) で割る
05:40 数列 {bn} の特性方程式
11:08 場合分けの方針
13:59 場合分け (i)
14:47 場合分け (ii)
15:36 場合分け (iii)
16:14 場合分け (iv)
17:11 場合分け (v)
19:00 答えの図示
20:00 解法のまとめ
21:39 学習者へのアドバイス
22:57 おわりに