収束

概要

例えば、

という無限に続く数列を考えると、 にはならないけれど、限りなく に近づいていきそうな気配がムンムンする。

このように、数列 において、 が限りなく大きくなっていくとき、 がある一定の値 に限りなく近づいていくとき、 数列 は に収束するといい、

または

などと書く。また、 をこの数列の極限値という。

収束しないとき、つまり一定の値に近づいていかない場合は、発散するという。

特に等比数列の場合は、 公比 の値によって収束するケースが決まっていて、

となる。上は、例えば初項 、公比 の数列

下は、例えば初項 、公比 の数列

というイメージで、それぞれ 、 に収束する、つまり限りなく近づいていくことが納得できる。

公比 がこれら以外のケースは、全て発散する。詳しくは発散の辞書で確認しよう。

例

こんな感じで、分母分子を、分母の最大の項で割ると極限が計算できることも多々ある。

補足

関数値の収束も同様に、 が とは異なる値を取りながら、左から近づけても右から近づいても、 の値が一定の同じ値 に限りなく近づくとき、 を のときの の極限値という。このとき、 は のとき に収束するといい、

または

と表す。