無限等比級数

概要

数列を初めから第項まで足してできる数（）を並べた数列のことを 「級数」という。言葉ではよくわからないので、例で確認しよう。

例えば簡単な数列を考えると、

となっていき、このように 級数自体も数列（） になる（ここがややこしい！）。

級数も数列なので、 「級数の収束・発散」 というものを調べることができる（例えば、上の級数は収束しないので、発散する）。

特別に、元の数列が等比数列であるとき、その数列から作られる級数を無限等比級数、または単に等比級数という。

この 無限等比級数の収束・発散（つまり） を調べようというのが、ここでのテーマ。やっと本題に入ってきた。長いツカミは嫌われるので注意せねば。

元の等比数列の初項を、公比をとおくと、

の場合：

数列の項は全てになるので、となり、。

の場合：

のときは収束し、極限値は（つまり元の等比数列を無限に足していった数は、この値に収束する）

or のときは発散する。

のときは発散する。

よってまとめると、この無限等比級数は、

$のときに収束のとき発散$

【問】の等比級数は収束するか？発散するか？収束する場合は、収束する値を求めよ。

【答】これは初項、公比の等比数列の級数なので収束し、値は

と計算できる。

元の等比数列が初項、公比であるとき、その無限等比級数を「初項、公比の無限等比級数」と表現することもあるが、無限等比級数自体が等比数列になっているわけではない点に注意。

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