発散

概要

例えば、

という無限に続く数列を考えると、いつまでも一定値に近づいていきそうな気配がない。

このように、 収束しない数列は「発散する」 という。上の数列のように項の値が限りなく大きくなっていくとき、正の無限大に発散するといい、逆に

というように、どこかで項の値が負になり、その絶対値が限りなく大きくなっていくとき、負の無限大に発散するという。

それぞれ

などとも書ける。

発散と聞くと、気持ちよく無限に飛んでいくようなイメージを感じるが、実は発散する数列には次のような数列も含まれる。

どちらも正の無限大にも負の無限大にも発散しないが、収束もしないので、めでたく「発散」の仲間に入る。

このような、 正の無限大にも負の無限大にも発散しないけれども収束しないような数列を、 「振動する」 という。

特に等比数列の場合は、公比 の値によって発散するケースが決まっていて、

となる。上は、例えば初項 、公比 の数列

下は、例えば初項 、公比 の数列

という数列のイメージで納得できる。

公比がこれら以外のケースは、全て収束する。

例

補足

関数値の発散も数列の場合と同様に、 が とは異なる値を取りながら、左から近づけても右から近づいても、 の値が限りなく大きくなるならば、 のとき は正の無限大に発散するといい、

または、

と書く。

一方で、 が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 は負の無限大に発散するといい、

または、

と書く。