ロピタルの定理

概要

検算などにとても便利なロピタルの定理は、ざっくりいうと以下の内容。

がある条件を満たせば、

が成立。 が不定形の時に、分母と分子の導関数で極限を考えることができるという、便利な定理。

下で補足する通り、前提条件が多いため、 検算のノリで使うことが推奨される。（もちろん前提条件をチェックすれば用いてもOK）

例

は の不定形だが、下で補足する前提条件を全て満たすので、ロピタルの定理が使えて、

と簡単に求まる。

補足

魅力的な、使えたらかっこいい定理ではあるが、ロピタルの定理を使うためには、次の条件を全て満たすことが前提（上で「ある条件」と書いたもの）。前提を満たさない例などは、こちらのヨビノリさんのロピタルの定理の動画②を参照。

(1) は を含む開区間 上で微分可能

(2) or

(3) 開区間 から を除く全ての点で

(4) 極限 が存在する

証明

証明は高校範囲を超えるので、ここでは動画の紹介のみとしておこうと思う。例えばこちらのヨビノリさんのロピタルの定理の動画③〜⑥を参照（リンク先は③で、上のボタンから順々に全て見ていくことができる）。