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今回は理系第 5 問。微分を用いて関数の増減を調べるのがテーマです。
今回の f(θ) は見た目が複雑な関数なので,増減を調べるのがいかにも大変そうです。
実際に試験でこれを見た人の中には,心が折れて後回しにしてしまった人もいることでしょう。
ただ,式の形をよく見ると,ある程度スッキリ整理することができます。
特に国公立大学の入試問題では,一見複雑な計算に見えても,なんだかんだ工夫する余地があるケースも多いので,見た目だけで簡単には諦めない様にしたいですね。
今回でいうと,1 + cosθ の形を見つけられるかどうかがポイントでした。
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<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 今回は 2021 東大理系数学 [5]
00:47 (1) f(θ) を求めて整理する
03:43 (1) f'(θ) を計算する
04:53 (1) f'(θ) = 0 を α = ... の形に直す
06:22 (1) θ の式をシンプルに変形する
08:54 (1) g(θ) の増減を調べる
11:03 (1) g(θ) の θ → +0, π-0 の極限
13:45 (1) の結論( 3 つの条件)
14:14 (1) のまとめ
15:27 (2) 何を示す必要があるか
16:16 (2) f'(θ) の書き換え
18:04 (2) f(θ) の増減を調べる
19:49 (2) 最大点は 0 ~ π/2 の間にある
21:21 (2) 補足:関数 g(θ) のグラフ
22:07 第 5 問のまとめ
22:48 おわりに