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1993年の京大入試より,三角関数の値域に関する問題をピックアップ。
cos2x や cosx が係数つきで足し算されており,これが -6 以上 6 以下の値をとるような (a, b) の範囲を図示する問題です。
三角関数の値域を考えるときに,2 倍角の公式を利用して cosx についての 2 次関数にするというのは定番のテクニックですね。
今回もそれを利用します。
結局,2 次関数の値域が -6 以上 6 以下になればよいわけですが,最大点・最小点がどこか,に応じて場合分けする必要があるというのが面倒なところですね。
最大値の場合分けと最小値の場合分けでは,境目となる値が異なることにも注意が必要です。
とはいえ,結局問題の要は 2 次関数の最大値・最小値ですから,三角関数あたりの話を除けば高校 1 年生でも解けます。
京大入試といえど,基礎的な操作をいかに徹底できるかが大事ということですね。
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<Twitter: @884_96>
https://twitter.com/884_96
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【プロフィール】
林 俊介 (はやし しゅんすけ)
オンライン家庭教師を運営する会社の社長。
大学の講師もやっています。
2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒
2015年 東京大学理科一類 入学
2019年 東京大学理学部物理学科 卒
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位
・東大入試本番では数学で 9 割を獲得
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<目次>
00:00 1993年 京大 文系数学 [1]
00:41 方針:2 倍角で cosx の多項式に
02:12 2 次関数の最大値・最小値問題になる
04:29 2 次関数の平方完成と場合分け
05:18 [1] 最大値:場合分けの基準
06:30 [1] 各場合の最大値の計算
09:14 [1] 最大値:まとめ
10:00 [2] 最小値:場合分けの基準
12:28 [2] 各場合の最小値の計算
15:44 [2] 最小値:まとめ
16:56 条件式のまとめ
17:45 条件式の図示
22:33 答えと解法のまとめ
24:11 よりシンプルな別解
26:24 学習者へのアドバイス
27:43 おわりに