【５人しか受からない超難関入試】京大 2019年度 特色入試 [2]【整式の証明問題】

トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ トップを目指す受験生のために，国公立大学の入試問題を中心に，大学入試の数学を解説中！ぜひチャンネル登録お願いします✨ 京大には一般入試だけでなく「特色入試」というものがあります。 この入試は，数学が特に優秀な受験生を対象としています。 一般入試と異なり，たった 5 名しか合格しない狭き門です。 当然問題も超ハイレベル。日本の大学入試数学の中でもトップレベルに難しいですね。 今回は，2019年度京大特色入試（理学部，数理科学入試）の第 2 問を解説していきます。 整式に関する 2 つの証明問題で構成されています。 (1) は，有理関数の部分分数分解に関する問題。 両辺の分母を取り払うことにより整式の恒等式の問題になり，代入する x の値を工夫することで，係数 c0 ~ cn を求めることができます。 (2) は，整式に関する複雑な恒等式を証明する問題。 (1) を利用する方法を考えたのですが，なかなか見つけることができませんでした。 そこで今回は，(1) を用いずに証明をしています。 やはり分母の x を取り払い，両辺を整式にしてからそれを証明するという方針です。 整式なので，両辺の次数 +1 個の相異なる x を代入して等号が成立すれば，恒等式であることを証明できる，というのがポイントです。 動画内でも紹介していますが，整式（多項式）の一致の定理については，興味があったら各自で調べてみてください！ ---------- ＜Twitter: @884_96＞ https://twitter.com/884_96 ---------- 【プロフィール】 林 俊介 （はやし しゅんすけ） オンライン家庭教師を運営する会社の社長。 大学の講師もやっています。 2015年 筑波大学附属駒場高等学校 卒 2015年 東京大学理科一類 入学 2019年 東京大学理学部物理学科 卒 ・2014年 日本物理オリンピック金賞 ・2014年 東大実戦模試物理1位 ・東大入試本番では数学で 9 割を獲得 ---------- ＜お仕事のご依頼＞ チャンネル概要欄に記載のメールアドレスまたは Twitter の DM までお願いします！ ---------- ＜目次＞ 00:00 2019年度 京大特色入試 [2] 01:02 (1) 関数 G の導入＆式の書き換え 04:47 (1) (☆) を考えればよい理由 07:55 (1)係数を求める方針 11:54 (1) 条件式の一般形 15:56 (1) (n-k)!ck を用いた書き換え 17:55 (1) 連立方程式の特徴 21:21 (1) 解法のまとめ 24:29 (2) 分母の x を取り払う 26:30 (2) 整式の一致の定理 29:39 (2) 証明の方針 33:02 (2)(i) a = b = 0 のとき 34:13 (2)(ii) 代入する x の値 36:22 (2)(ii) x = 2m+1 を左辺に代入 38:36 (2)(ii) x = 2m+1 を右辺に代入 46:59 (2)(ii) 組み合わせ論のアプローチ 52:21 (2) 解法のまとめ 54:56 おわりに