多項式一致の定理

概要

、 を 次以下の多項式（単項式も含む）とするとき、 が 個の異なる で成り立つならば、 は恒等式となる。つまり全ての で等式が成り立つことになる。

この性質を、多項式一致の定理と呼ぶことがある。

式で書くとよくわからないかもしれないが、グラフで考えてみると結構すごいことを言っていて、 と のグラフが 個の異なる点で共有点を持っていれば、2つのグラフがピタッと一致することになる。

例えば二次関数であれば、通る3点を決めれば関数のグラフはバシッと決まるよ、ということ。

証明

が成り立つ 個の異なる を、 とおく。

とすると、上の設定から

となる。

が互いに異なることに注意すれば、因数定理より、 はある定数 を用いて

と表せる。（ は設定から 次以下の多項式であることに注意）

ここで、この式の両辺に を代入すると、

となるが、 は とは異なるので、

を得る。

よって、 つまり は恒等的に となり、 は全ての で成り立つことが示された。■

※ 動画で学びたい方は、こちらのガチノビさんの解説動画を見てみよう。

補足

多項式一致の定理は、受験数学において発展的な事項であるものの、実は、恒等式の問題で 「数値代入法」 という方法を使う際の同値性の根拠になるので、詳しく学びたい方は押さえておこう。