等差数列×等比数列の形の数列

概要

等比数列×等差数列の形をした数列のシグマについては、すぐに計算できるようになろう。シグマワールドの中ボス。

シグマの中身の の部分は等差で増えていくのに対し、 の部分については等比で増えていくので、よく 「等比×等差のシグマ」 と呼ばれている。まずはさらっと「あ〜、等差×等比ね」と言えるようになろう。計算方法については以下の例で確認。

例

次の値を計算する。

シグマを取って書き下すと以下の通り。

これと、全体に を掛けた下の値を考える（指数を ずつ増やすイメージ）。

の場合には、引き算する項を下のように工夫しながら①から②を引いて、

と、 等比数列の和が登場して計算ができる。（ だと等比数列の和の部分が となって、バグる）「等比数列」の辞書を復習したい方はこちらから。もう少し整理して、

と求められる。 のときには、この式に代入した値は となり、 なので一致し、この式は でも成り立つ。

補足

等比数列の部分の公比（）をかけて引き算することで、うまく、計算できる等比数列の和を作ることがポイント。

の値の条件には要注意。