微分係数

概要

関数 に対して、

を の における微分係数 という（ある点 での値であることに注意！）。数学IIの範囲では、極限については「 を に限りなく近づけること」とぼんやり思っておけばOK。極限については、数学IIIでどっぷりと学ぶ。この式は下のようにも書けるので、使いやすい方を使えばOK。

極限の中身の は 点 の間の平均の傾きを表し、上の極限値は、どんどん を に近づけていくという意味なので、 の における接線の傾きになる。

の での微分係数が存在するとき、 は で微分可能という。

例

[1] の での微分係数を、定義に従って求めてみる。

（ については、極限の定義より、「 は限りなく に近づくが にはならない」ので、 で割ることができる（下の例も同様））

詳細（数学III：微分可能性）

微分係数が存在するためには、 極限が存在するというポイントをクリアしないといけない。この極限が存在するための必要十分条件は、

とが一致すること。

つまり、 を の右から近づけた右側極限と、 を の左から近づけた左側極限が一致するということ（もしその点の両側で分ける必要がなさそうであれば、一気に極限を出して良い（上の例[1]））。

極限の式の中に があるので、 が存在することも前提となっている。

例（数学III）

[2] の での微分係数を定義に従って求める。 の左右で関数が変わるので、両側で分ける必要がある。

右側極限は、

（ の右側極限を考えているので、。よって が得られる）

左側極限は、

（ の左側極限を考えているので、。よって が得られる）

となり、 左側極限と右側極限が一致しない。よって極限が存在しないので、微分係数は存在しない（上の必要十分条件を満たさない）。