微分可能性

概要

関数がある で微分可能というのは、簡単にいうと、そこでグラフが尖ってなくて、 なめらかに関数がつながっているということ。

それをカッコよく数学的に表現すると、以下のような定義になる。

「関数 は で「微分可能」とは、

が存在すること」

ちなみに、この極限の式は

と書いても良い。上の極限値が存在した場合、その値を 「微分係数」 と呼ぶ（数学IIでひょっこり出てきたもの）。

さらに細かく言うと、この極限値が存在するための必要十分条件は、

と

が一致すること。

つまり、 を の右から近づけた右側極限と、 を の左から近づけた左側極限が一致するということ（もしその点の両側で分ける必要がなさそうであれば、一気に極限値を出して良い（下の例[1]））。

極限の式の中に があるので、 が存在することも前提となっている。

ちょっと何言ってるかわからない人は、下の例で確認しよう。

例

[1] は で微分可能か？

となり、 極限値が存在するので、微分可能。

（ については、極限の定義より、 は限りなく に近づくが にはならないので、 で割ることができる（下の例も同様））

[2] は で微分可能か？

の左右で関数の様子が変わるので、右側極限と左側極限に分けて考える。

右側極限は、

（ の右側極限を考えているので、。よって が得られる）

左側極限は、

（ の左側極限を考えているので、。よって が得られる）

となり、左側極限と右側極限が一致しない。よって極限値が存在しないので、微分可能ではない。

証明

• ある区間のどこの点でも微分可能であれば、関数 はその区間で微分可能と言える。
• いちいちここまで詳しく証明しなくても、当たり前のときは、証明なしで「微分可能」と書いてOK。
• ある関数が微分可能ならば連続である 。逆は成り立たない。