## 概要

関数がある $x$ で微分可能というのは、簡単にいうと、そこでグラフが尖ってなくて、 **なめらかに関数がつながっている**ということ。

それをカッコよく数学的に表現すると、以下のような定義になる。

「関数 $f(x)$ は $x=a$ で「微分可能」とは、

$$ \displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が存在すること」

ちなみに、この極限の式は

$$\displaystyle\lim _{h\to 0}{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

と書いても良い。上の極限値が存在した場合、その値を **「微分係数」** と呼ぶ（数学IIでひょっこり出てきたもの）。

さらに細かく言うと、**この極限値が存在するための必要十分条件**は、

$$\displaystyle\lim_{x \to a+0} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

と

$$\displaystyle\lim_{x \to a-0} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が一致すること。

つまり、$x$ を $a$ の右から近づけた右側極限と、$x$ を $a$ の左から近づけた左側極限が一致するということ（もしその点の両側で分ける必要がなさそうであれば、一気に極限値を出して良い（下の例[1]））。

極限の式の中に $f(a)$ があるので、$f(a)$ が存在することも前提となっている。

**ちょっと何言ってるかわからない人は、下の例で確認**しよう。

## 例

[1] $f(x)=x^2$ は $x=1$ で微分可能か？

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} &= \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}\\\\
&= \lim_{x \to 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} \cdots \star \\\\
&= \lim_{x \to 1}(x+1)\\\\
&= 2
\end{align}
$$

となり、 **極限値が存在するので、微分可能**。

（$\star$ については、極限の定義より、 **$x$ は限りなく $1$ に近づくが $1$ にはならない**ので、$x-1$ で割ることができる（下の例も同様））


[2] $f(x)=|x|$ は $x=0$ で微分可能か？

$x=0$ の**左右で関数の様子が変わる**ので、右側極限と左側極限に分けて考える。

右側極限は、

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x \to 0+0}\frac{|x|}{x}\\\\
&= \lim_{x \to 0+0}\frac{x}{x} \cdots (1) \\\\
&= \lim_{x \to 0+0}1 \\\\
&= 1
\end{align}
$$

（$x=0$ の右側極限を考えているので、$x>0$。よって $(1)$ が得られる）

左側極限は、

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x \to 0-0}\frac{|x|}{x}\\\\
&= \lim_{x \to 0-0}\frac{-x}{x} \cdots (2) \\\\
&= \lim_{x \to 0-0}-1 \\\\
&= -1
\end{align}
$$

（$x=0$ の左側極限を考えているので、$x<0$。よって $(2)$ が得られる）

となり、左側極限と右側極限が一致しない。よって**極限値が存在しない**ので、微分可能ではない。

### 証明

- ある区間のどこの点でも微分可能であれば、関数 $f(x)$ はその**区間で微分可能**と言える。
- いちいちここまで詳しく証明しなくても、当たり前のときは、**証明なしで「微分可能」と書いてOK**。
- ある関数が**微分可能ならば連続である** 。逆は成り立たない。

微分可能性

概要

例

証明

タグ