## 概要

関数がある $x$ で連続というのは、直感的にはそこで**グラフが途切れずにつながっている**ということ。

それをカッコよく数学的に表現すると、以下のような定義になる。

「関数 $f(x)$ が定義域内の $x=a$ で「連続」とは、$ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在し、その値が $f(a)$ に等しいこと」

ポイントは下の通り3つあり、 **全てをクリアしないといけない**。

- $f(a)$ が定義されていて
- $\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x)$ と $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)$ が一致して
- その極限値と $f(a)$ が等しくなる

2つ目はつまり、$x$ を $a$ の右から近づけた右側極限と、$x$ を $a$ の左から近づけた左側極限についての一致で、つまり極限値 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在するということを確認している。

（もしその点の両側で分ける必要がなさそうであれば、一気に極限を出しても良い）

吐き気がした人もしていない人も、下の図と例で確認しよう。

![](https://files.okedou.app/markdownx/9a6b3ea2-1b7d-4294-a02d-2980885e33d9.png)

定義域内のある点について、上のポイントがどれか欠けると、関数 $f(x)$ はそこの点では**不連続**であるという。

## 例

$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続か？

①$f(0)$ は定義されているので、存在する（値は $f(0)=0$）。

②$x=0$ の**左右で関数の様子が変わる**ので、右側極限と左側極限に分けて考える。

右側極限は、

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0+0}f(x) &= \lim_{x \to 0+0}|x|\\\\
&= \lim_{x \to 0+0}x \cdots (1) \\\\
&= 0
\end{align}
$$

（$x=0$ の右側極限を考えているので、$x>0$。よって $(1)$ が得られる）

左側極限は、

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0-0}f(x) &= \lim_{x \to 0-0}|x|\\\\
&= \lim_{x \to 0-0}-x \cdots (2) \\\\
&= 0
\end{align}
$$

（$x=0$ の左側極限を考えているので、$x<0$。よって $(2)$ が得られる）

となり、左側極限と右側極限は一致して、極限値 $0$ をとる。

③  ②で一致した極限値と①で確認した $f(0)$ の値は一致するので、$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続。

### 証明

- ある区間のどこの点でも連続であれば、関数 $f(x)$ はその**区間で連続**と言える。
- いちいちここまで詳しく証明しなくても、連続であることが当たり前のときは、**証明なしで「連続なので」と書いてOK**。
- ある関数が**微分可能ならば連続**である。逆は成り立たない。（[微分可能性については、こちらの辞書で確認](https://dic.okedou.app/words/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7)）

関数の連続性

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