## 概要
共通テスト数学IAで出たら困るランキング堂々の第一位(自分調べ)である変量の変換について、ここで押さえておこう。前提となる[平均値](https://okke.app/words/p/pKU329meO77lR)、[分散](https://okke.app/words/p/hgvA3EHsJhven)、[共分散](https://okke.app/words/p/BYEbPP7NIvXEi)、[標準偏差](https://okke.app/words/p/NolkVY9a5aZ0i)、[相関係数](https://okke.app/words/p/2T2wrBmmAouvv)の定義を忘れた人はリンク先で確認してほしい。

データ$x$ (平均値$\bar{x}$、分散$s_x^2$)について$y=ax+b$という変換を考えると、データ$y$について、

- 平均値$\bar{y}=a\bar{x}+b$
- 分散$s_y^2=a^2s_x^2$

が成り立つ。

また、データ$z$ ($x$との共分散$s_{xz}$、$x$との相関係数$r_{xz}$)と変換$w=cz+d$を考えると、データ$y$、$w$について、

- 共分散$s_{yw}=acs_{xz}$
- 相関係数$r_{yw}=\dfrac{ac}{|ac|}r_{xz}$

が成り立つ。

### 証明
式の形はごついがやっていることは単純な式変形である。証明もしっかり学習しておくと、上の公式を忘れにくくなるので耐えながら式を追っていこう。

便宜上$x$、$y$、$z$、$w$はそれぞれ$n$個のデータであるとして、$x_1$、$x_2$、…、$x_n$のように番号をつけておく。

$$
\begin{align}
\bar{y}&=\frac{1}{n} (y_1+y_2+…+y_n)\\\\
&=\frac{1}{n}(ax_1+b+ax_2+b+…+ax_n+b)\\\\
&=\frac{1}{n}\left\lbrace a(x_1+x_2+…+x_n)+nb\right\rbrace\\\\
&=a\cdot\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+b\\\\
&=a\bar{x}+b
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
s_y^2=&\frac{1}{n}\lbrace(y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\\\\
&\qquad…+(y_n-\bar{y})^2\rbrace\\\\
=&\frac{1}{n}\lbrace(ax_1+b-a\bar{x}-b)^2+(ax_2+b-a\bar{x}-b)^2+\\\\
&\qquad…+(ax_n+b-a\bar{x}-b)^2\rbrace\\\\
=&\frac{1}{n}\lbrace a^2(x_1-\bar{x})^2+a^2(x_2-\bar{x})^2+…a^2(x_n-\bar{x})^2\rbrace\\\\
=&a^2\cdot\frac{1}{n}\lbrace(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2\rbrace\\\\
=&a^2s_x^2
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
s_{yw}&=\frac{1}{n}\lbrace(y_1-\bar{y})(w_1-\bar{w})+(y_2-\bar{y})(w_2-\bar{w})+\\\\
&\qquad…+(y_n-\bar{y})(w_n-\bar{w})\rbrace\\\\
&=\frac{1}{n}\lbrace(ax_1+b-a\bar{x}-b)(cz_1+d-c\bar{z}-d)\\\\
&\qquad +(ax_2+b-a\bar{x}-b)(cz_2+d-c\bar{z}-d)+\\\\
&\qquad…+(ax_n+b-a\bar{x}-b)(cz_n+d-c\bar{z}-d)\rbrace\\\\
&=\frac{1}{n}\lbrace ac(x_1-\bar{x})(z_1-\bar{z})+ac(x_2-\bar{x})(z_2-\bar{z})+\\\\
&\qquad…+ac(x_n-\bar{x})(z_n-\bar{z})\rbrace\\\\
&=ac\cdot\frac{1}{n}\lbrace(x_1-\bar{x})(z_1-\bar{z})+(x_2-\bar{x})(z_2-\bar{z})+\\\\
&\qquad…+(x_n-\bar{x})(z_n-\bar{z})\rbrace\\\\
&=acs_{xz}
\end{align}
$$

ここで**標準偏差は分散の正の平方根**であることを用いて、$y$と$w$の標準偏差はそれぞれ$s_{y}=|a|s_{x}$、$s_{w}=|c|s_{z}$と求められる。これを用いて$y$と$w$の相関係数を求めると、
$$
\begin{align}
r_{yw}&=\frac{s_{yw}}{s_y \cdot s_w}\\\\
&=\frac{acs_{xz}}{|a|s_x \cdot |c|s_z}\\\\
&=\frac{ac}{|ac|}r_{xz}
\end{align}
$$

### 補足
- $y$と$w$の相関係数は以下のようにも書ける。
$$
\begin{align}
r_{yw} &= \begin{cases}
    r_{xz} & (ac > 0) \\\\
    -r_{xz} & (ac < 0)
  \end{cases}
\end{align}
$$
これは、**$a$と$c$が同符号なら相関係数$r_{yw}$は元の値$r_{xz}$に一致し、異符号なら、相関係数$r_{yw}$は元の値$r_{xz}$の$-1$倍になる**ということを意味している。

- 共通テスト(旧センター試験)やその模試で時たま出題されていたが、流石にこすりすぎたのか最近では見なくなった。このように公式として覚えておけば出題された時に瞬殺できるのでしっかり復習しよう。

変量の変換

概要

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補足

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