## 概要（数学Ⅰ）

$n$ 個のデータ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ の分散は、

$$
s^{2}={\frac{(x_{1}-{\overline{x}})^{2}+(x_{2}-{\overline{x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline{x}})^{2}}{n}}
$$

で計算できる（$\overline{x}$ は[平均値](https://dic.okedou.app/words/p/pKU329meO77lR)）。漢字からも分かる通り、分散は、 **テータがどれほど平均値から散らばっているかを表す指標**。

また、分散のルートを取ったものを、[標準偏差](https://dic.okedou.app/words/p/NolkVY9a5aZ0i)という。

$$
s=\sqrt{{\frac{(x_{1}-{\overline{x}})^{2}+(x_{2}-{\overline{x}})^{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline{x}})^{2}}{n}}}
$$

分散は、データの平均からのズレを $2$ 乗しているので、単位が元のデータと揃わない。そこで標準偏差という、分散のルートを取ったものが出てくる。

## 例

例えば、$5$ 人の生徒の体重を調べた結果が以下の通りだったとする。

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline 生徒 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\
\hline 体重(\mathrm{kg}) & 55.4 & 69.3 & 58.4 & 57.0 & 64.3 \\\\
\hline
\end{array}
$$

平均値は、

$$
\frac{55.4+69.3+58.4+57.0+64.3}{5}=60.88(\mathrm{kg})
$$

と計算できるので、分散は、

$$
\begin{align}
&\left( (55.4-60.88)^2+(69.3-60.88)^2\right.\\\\
&+(58.4-60.88)^2+(57.0-60.88)^2\\\\
&+\left.(64.3-60.88)^2\right) \div 5\\\\
&=26.7656(\mathrm{kg}^2)
\end{align}
$$

となり、標準偏差は、

$$
\sqrt{26.7656}=5.173...(\mathrm{kg})
$$

と計算できる。

### 補足

分散は、 **「データの $2$ 乗の平均値」－「データの平均値の $2$ 乗」** で求めることもできる。上の例だと、

$$
\begin{align}
&\frac{(55.4)^2+(69.3)^2+(58.4)^2+(57.0)^2+(64.3)^2}{5}\\\\
&-60.88^2=26.7656(\mathrm{kg}^2)
\end{align} 
$$

と求められる。

証明は、動画だと例えば[超わかる高校数学さんの動画](https://okedou.app/videos/uJhX4DM9JNw)で確認しよう。ここでもざっと書いてみると、

$$
\begin{align}
s^2=&\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2}{n}\\\\
=&\frac{(x_1-\overline{x})^2}{n}+\frac{(x_2-\overline{x})^2}{n}+\cdots+\frac{(x_n-\overline{x})^2}{n}\\\\
=&\frac{x_1{}^2-2\overline{x}x_1+\overline{x}^2}{n}+\frac{x_2{}^2-2\overline{x}x_2+\overline{x}^2}{n}\\\\
&+\cdots+\frac{x_n{}^2-2\overline{x}x_n+\overline{x}^2}{n}\\\\
=&\frac{x_1{}^2+x_2{}^2+\cdots+x_n{}^2}{n}\\\\
&-2\overline{x}\cdot\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}+\frac{\overline{x}^2}{n}\cdot n\\\\
=&\overline{x^2}-2\overline{x}\cdot\overline{x}+\overline{x}^2\\\\
=&\overline{x^2}-\overline{x}^2
\end{align}
$$

となる。

分散や標準偏差は、 **テータがどれほど平均値から散らばっているか**を表す指標で、なんでこんな形を考えるのか、興味がある方は、例えば[ぶおとこばってんの「データの分析のまるごと解説」の動画](https://okedou.app/videos/7U_hjPxyjOs)を見てみよう。

## 概要（数学B）

上では平均値に関して分散を定義したが、より一般的には、分散は**期待値**を用いて定義される。

確率変数 $X$ のとりうる値を $x_1, \ x_2, \ \cdots, \ x_n$ とし、$X$ がそれらの値をとる確率をそれぞれ $p_1, \ p_2, \ \cdots, \ p_n$ とする。また、$X$ の期待値を $E(X)=m$ とするとき、確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ は

$$
\begin{align}
V(X)=&(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2\\\\
&+\cdots+(x_n-m)^2p_n
\end{align}
$$

で求めることができる。期待値の定義を用いた、

$$V(X)=E\left((X-m)^2\right)$$

で押さえておくとわかりやすい。（要するに $(X-m)^2$ という確率変数の期待値を求めているということ！）


また、この**分散の定義の式を変形**していくと、

$$
\begin{align}
V(X)=&(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2\\\\
&+\cdots+(x_n-m)^2p_n\\\\
=&(x_1{}^2-2mx_1+m^2)p_1\\\\
&+(x_2{}^2-2mx_2+m^2)p_2\\\\
&+\cdots+(x_n{}^2-2mx_n+m^2)p_n\\\\
=&(x_1{}^2p_1+x_2{}^2p_2+\cdots+x_n{}^2p_n)\\\\
&-2m(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)\\\\
&+m^2(p_1+p_2++\cdots+p_n)\\\\
=&E(X^2)-2mE(X)+m^2\\\\
=&E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2\\\\
=&E(X^2)-E(X)^2
\end{align}
$$

となる。（$E(X)=m$ であることと、$p_1+p_2++\cdots+p_n=1$（全確率の和）に注意！）

つまり、確率変数の分散は、**「確率変数の $2$ 乗の期待値」－「マイナス期待値の $2$ 乗」** で求めることができる。

これを用いると、計算が楽になることも多いので、いつでも思い出せるようにしておこう！（毎回頭の中で証明していると時間がかかるので、覚えてしまった方が早いが、いつでも作れるようにはしておこう）

分散

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