分散

概要（数学Ⅰ）

個のデータの分散は、

で計算できる（は平均値）。漢字からも分かる通り、分散は、 テータがどれほど平均値から散らばっているかを表す指標。

また、分散のルートを取ったものを、標準偏差という。

分散は、データの平均からのズレを乗しているので、単位が元のデータと揃わない。そこで標準偏差という、分散のルートを取ったものが出てくる。

例えば、人の生徒の体重を調べた結果が以下の通りだったとする。

$生徒体重$

平均値は、

と計算できるので、分散は、

となり、標準偏差は、

と計算できる。

分散は、 「データの乗の平均値」－「データの平均値の乗」 で求めることもできる。上の例だと、

と求められる。

証明は、動画だと例えば超わかる高校数学さんの動画で確認しよう。ここでもざっと書いてみると、

となる。

分散や標準偏差は、 テータがどれほど平均値から散らばっているかを表す指標で、なんでこんな形を考えるのか、興味がある方は、例えばぶおとこばってんの「データの分析のまるごと解説」の動画を見てみよう。

上では平均値に関して分散を定義したが、より一般的には、分散は期待値を用いて定義される。

確率変数のとりうる値をとし、がそれらの値をとる確率をそれぞれとする。また、の期待値をとするとき、確率変数の分散は

で求めることができる。期待値の定義を用いた、

で押さえておくとわかりやすい。（要するにという確率変数の期待値を求めているということ！）

また、この分散の定義の式を変形していくと、

となる。（であることと、（全確率の和）に注意！）

つまり、確率変数の分散は、「確率変数の乗の期待値」－「マイナス期待値の乗」 で求めることができる。

これを用いると、計算が楽になることも多いので、いつでも思い出せるようにしておこう！（毎回頭の中で証明していると時間がかかるので、覚えてしまった方が早いが、いつでも作れるようにはしておこう）

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