商の微分

概要

関数の分数になっている式を丸ごと微分すると、分母の2乗分の、分子の微分 × 分母そのまま - 分子そのまま × 分母の微分、という形になる。

魔法のように唱えよう。

例

※三角関数の導関数の辞書はこちらから

証明

導関数の定義に従って、まずは

を証明する。

となり、示される。これと積の微分を用いると、

と商の微分が示される。（「積の微分」はこちらから確認できる）

補足

よく出てくるので、顔を洗う感覚で使えるようになることが大事。分母を二乗することと、分子の符号と、分子を先に微分する点に注意。