定積モル比熱

概要

とても大事な概念である一方で、とても忘れやすいので、「モル比熱」とは何かを理解して、忘れても作り出せるようにしておくのがポイント。

の気体の温度を だけ上げるとき、気体が吸収する熱量をモル比熱 という。（物体の比熱と似ているが、こっちは をあっためる話）

数式で表すと、 の気体の温度を だけ上げるのに、気体が吸収する熱量を とすると、モル比熱 は、

で求められる。

モル比熱の中でも特に、気体を定積変化（体積一定で変化）させるときのモル比熱のことを定積モル比熱といい、 で表す（これは大文字が普通）。実は、 は気体の種類によらず、

という定数になる。（ただし となるのは、単原子分子の理想気体の場合のみ）

導出

の単原子分子の理想気体を定積変化させて、温度が だけ上がったとする。このときに吸収した熱量を求めて、

を使って定積モル比熱を求めていこう。

吸収した熱量は、熱力学第一法則で求めていきたいので、内部エネルギーの変化と、外部からされた仕事を別で求める。

① 内部エネルギーの変化

上の図のように、体積を に保ったまま、圧力を だけ増加させ、温度が から に上昇したとする。（イメージが湧かないかもしれないが、容器内でヒーターであっためれば圧力だけ増やすことができる）

このとき、内部エネルギーの変化は

と求められる。

② 外部からされた仕事

この変化では、体積は一定なので、外部からされた仕事は になる（移動しない）。

以上①②より、熱力学第一法則から、気体が吸収する（受け取った）熱量は、

と求められる。よって（）より、

と求められる。

補足

内部エネルギーの変化量を、この定積モル比熱を用いて表すことがある。上の導出で、熱力学第一法則 より、

であった。ここで、定積モル比熱の定義式を変形した

を用いると、

となる。これより明らかな通り、この関係式は単原子分子でなくても成り立つ！

問題文に単原子分子と書いておらず、どんな分子か与えられていない時は、内部エネルギー係数が であるかわからないので、この関係式を用いることが多々あるので、押さえておこう。

さらに、定圧モル比熱 との関係も深く、実は、

の関係が、単原子分子であるかによらず成り立つ。これをマイヤーの関係式という。

また、二原子分子の場合は、内部エネルギーは となるので、上と同様の導出をすれば、

となるが、まあ受験物理では使わない。理想気体じゃないと成り立たない理由も、内部エネルギーの辞書を参照。