複素数の絶対値

概要

点 と原点 の距離を複素数 の絶対値といい、 で表す。

つまり実数 を用いて、 とおくと、

である。複素数平面上で2点間の距離を考えれば納得できるので、イメージを持っておこう。

例

【問】 の絶対値を求めよ。

【答】

である。

性質

上の定義から、次の性質が成り立つ。

（証明）

とする（ は実数）。あとは地道に計算していこう。

1 は定義から自明に成り立つ。

2 については、

より成り立つ。（最後の同値関係は複素数の相等条件を利用している）

3 については、

により成り立つ。

※共役な複素数 については、こちらの共役の辞書を確認しよう。

4 については、まず左辺について

右辺について、

よって左辺＝右辺となって示される。

ちなみに、性質 3

については複素数平面での図形的なイメージを持っておこう。

さらに、複素数 を極形式

で表すと、複素数の絶対値は になる。 これはすぐに判断できるようにしよう。