内接円の半径

概要

三角形の内接円の半径と、三角形の面積の間には、綺麗な関係がある。三角形の面積を 、三辺を 、内接円の半径を とするとき、

が成立する。三角形の面積 を別で求めて、この式から半径 を求める、という使い方が多い。

覚えるというよりは、下の証明を頭の中で作れるようにしておけば、その都度思い出せる。 カギは 「三角形に分割する」 こと。

証明

全体の三角形（黒）を、下のように内心を頂点にして小さな三角形 つ（青）に分割する。

このとき、小さな つの三角形は、底辺がそれぞれ 、高さが と見ることができる（←内接円の半径とそれぞれの辺が垂直に交わるため）。よって面積はそれぞれ

と求められる。これらを足し合わせると全体の三角形の面積 になるので、

が示される。

例

下の について、内接円の半径を求めよ。

三角形の面積は、

（心の中） あとは の長さが求まれば、上の公式で を求められる。 辺とその間の 角がわかっているので、余弦定理が使えそう！

余弦定理より、

よって、三角形の面積について

と求められる。